z là tập hợp số gì

Các số hữu tỉ (ℚ) được bao hàm trong số số thực (ℝ), trong những khi bạn dạng thân thiện bọn chúng bao hàm những số nguyên vẹn (ℤ), cho tới lượt nó bao hàm những số đương nhiên (ℕ)

Trong toán học tập, số hữu tỉ là những số x rất có thể trình diễn bên dưới dạng phân số , nhập cơ ab là những số nguyên vẹn với b0.[1]

Tập ăn ý những số hữu tỉ[2], hoặc thường hay gọi là ngôi trường số hữu tỉ[3], ký hiệu là Q (chữ đậm) hoặc (chữ viền), Unicode 𝐐/ℚ.[4] Tên Q của giao hội này được Giuseppe Peano dùng đợt trước tiên như thể chữ viết lách tắt của quoziente, tức thị tỷ trọng, và xuất hiện tại lần thứ nhất nhập cuốn sách Algèbre[5] của Bourbaki.

Bạn đang xem: z là tập hợp số gì

Khai triển thập phân của một trong những hữu tỉ kết giục sau một trong những hữu hạn chữ số (ví dụ: 3/4 = 0,75 hoặc thậm chí là chính thức tái diễn một trong những hữu hạn nằm trong sản phẩm những chữ số lặp cút tái diễn (ví dụ: 9/44 = 0,20454545...).[6] trái lại, ngẫu nhiên số thập phân tái diễn tuần trả hoặc kết giục sau hữu hạn chữ số đều thay mặt đại diện mang lại một trong những hữu tỉ. Các tuyên bố này đúng trong những cơ số 10 và vào cụ thể từng cơ số nguyên vẹn không giống (ví dụ: nhị phân hoặc thập lục phân).

Một số thực ko cần là số hữu tỉ được gọi là số vô tỉ.[7] Một số ví dụ của số vô tỉ bao hàm , π, eφ. Khai triển thập phân của một trong những vô tỉ kéo dãn dài mãi tuy nhiên ko tái diễn. Vì giao hội những số hữu tỉ là kiểm đếm được và giao hội những số thực là ko kiểm đếm được nên hầu hết toàn bộ những số thực đều là số vô tỉ.[8]

Số hữu tỉ rất có thể được khái niệm một cơ hội chủ yếu tắc là những lớp tương tự của những cặp số nguyên vẹn (p, q) với q ≠ 0, dùng mối quan hệ tương tự được khái niệm như sau:

Phân số p/q Lúc cơ biểu thị lớp tương tự của (p, q).[9]

Số hữu tỉ cùng theo với luật lệ nằm trong và luật lệ tự tạo trở thành một ngôi trường nhập cơ đem chứa chấp những số nguyên vẹn, và được chứa chấp nhập ngẫu nhiên ngôi trường nào là đem chứa chấp những số nguyên vẹn. Nói cách tiếp theo, ngôi trường số hữu tỉ là một trong ngôi trường yếu tắc và một ngôi trường đem đặc thù là 0 nếu như và chỉ Lúc nó chứa chấp những số hữu tỉ bên dưới dạng một ngôi trường con cái. Phần không ngừng mở rộng hữu hạn của Q được gọi là ngôi trường số đại số và phần đóng góp đại số của Q là ngôi trường số đại số.[10]

Trong giải tích toán học tập, những số hữu tỉ tạo ra trở thành một luyện con cái trù phú của những số thực. Các số thực rất có thể được xây cất kể từ những số hữu tỉ bằng phương pháp triển khai xong, dùng chuỗi Cauchy, hạn chế Dedekind hoặc những số thập phân vô hạn (để hiểu thêm, coi Xây dựng những số thực).

Từ nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

Thuật ngữ hữu tỷ nhập thương hiệu của giao hội Q nói đến thực tiễn rằng một trong những hữu tỷ biểu thị một tỷ số của nhì số nguyên vẹn. Tính kể từ hữu tỉ thỉnh thoảng Có nghĩa là những thông số là số hữu tỉ. Ví dụ, một điểm hữu tỉ là một trong điểm đem toạ chừng hữu tỉ (tức là một trong điểm đem toạ chừng là số hữu tỉ); một ma trận hữu tỉ là một trong ma mãnh trận của những số hữu tỉ; một đa thức hữu tỉ rất có thể là một trong nhiều thức với những thông số hữu tỉ, tuy nhiên thuật ngữ "đa thức bên trên những số hữu tỉ" thông thường được ưu tiên rộng lớn, nhằm rời lầm lẫn thân thiện " biểu thức hữu tỉ " và " hàm hữu tỉ" (đa thức là một trong biểu thức hữu tỉ và khái niệm một hàm hữu tỉ, trong cả Lúc những thông số của chính nó ko cần là số hữu tỉ). Tuy nhiên, một đàng cong hữu tỷ không phải là một trong đàng cong được xác lập bên trên những số hữu tỷ, tuy nhiên là một trong đàng cong rất có thể được thông số hóa vày những hàm hữu tỷ.[cần dẫn nguồn]

Từ nguyên vẹn này tương tự động như kể từ nguyên vẹn của số ảo và số thực.

Số học[sửa | sửa mã nguồn]

Phân số tối giản[sửa | sửa mã nguồn]

Mọi số hữu tỉ rất có thể được trình diễn theo gót một cơ hội độc nhất bên dưới dạng một phân số tối giản a/b, nhập cơ ab là những số yếu tắc cùng với nhau và b > 0. Đây thông thường được gọi là dạng đúng đắn của số hữu tỉ.

Bắt đầu kể từ một trong những hữu tỉ a/b, dạng đúng đắn của chính nó rất có thể cảm nhận được bằng phương pháp phân chia ab mang lại ước cộng đồng lớn số 1 của bọn chúng, và nếu như b < 0, thay cho thay đổi vệt của tử số và kiểu số.

Nhúng những số nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

Mọi số nguyên vẹn n rất có thể được trình diễn bên dưới dạng số hữu tỉ n/1, là dạng chủ yếu tắc của chính nó bên dưới dạng một trong những hữu tỉ.

Đẳng thức[sửa | sửa mã nguồn]

Lúc và chỉ Lúc

Nếu cả nhì phân số đều ở dạng chủ yếu tắc, thì:

Lúc và chỉ Lúc [9]

Thứ tự[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu cả nhì kiểu số đều dương (đặc biệt nếu như cả nhì phân số đều ở dạng chủ yếu tắc):

Lúc và chỉ Lúc

Mặt không giống, nếu như 1 trong những nhì kiểu số là âm, thì trước tiên từng phân số đem kiểu số âm cần được gửi trở thành dạng tương tự với kiểu số dương — bằng phương pháp thay đổi vệt của tất cả tử số và kiểu số của chính nó.[9]

Phép cộng[sửa | sửa mã nguồn]

Hai số hữu tỷ được nằm trong như sau:

Nếu cả nhì phân số đều ở dạng chủ yếu tắc, sản phẩm tiếp tục ở dạng chủ yếu tắc Lúc và chỉ Lúc bd là những số yếu tắc cùng với nhau.[9][11]

Phép trừ[sửa | sửa mã nguồn]

Hai số hữu tỷ được trừ như sau:

tùy nhập những ngôi trường hợp

Nếu cả nhì phân số đều ở dạng chủ yếu tắc, sản phẩm tiếp tục ở dạng chủ yếu tắc Lúc và chỉ Lúc bd là những số yếu tắc cùng với nhau.[9]

Phép nhân[sửa | sửa mã nguồn]

Hai số hữu tỷ được nhân như sau:

trong cơ sản phẩm rất có thể là một trong phân số rất có thể rút gọn gàng — trong cả Lúc cả nhì phân số thuở đầu đều ở dạng chủ yếu tắc.[9][11]

Nghịch hòn đảo luật lệ nằm trong và luật lệ nhân[sửa | sửa mã nguồn]

Mọi số hữu tỉ a/b mang 1 nghịch tặc hòn đảo luật lệ nằm trong, thông thường được gọi là số đối của chính nó,

Nếu như a/b ở dạng chủ yếu tắc, thì số đối của chính nó cũng ở dạng này.

Một số hữu tỉ không giống ko a/b đem nghịch tặc hòn đảo luật lệ nhân, thường hay gọi là nghịch đảo của chính nó,

Nếu như a/b ở dạng chủ yếu tắc, thì dạng chủ yếu tắc của nghịch tặc hòn đảo của chính nó là b/a hoặc b/a, tùy theo vệt của a.[cần dẫn nguồn]

Phép chia[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu b, cd không giống ko, quy tắc phân chia là

Như vậy, phân chia a/b mang lại c/d tương tự với nhân a/b với nghịch tặc hòn đảo của c/d:

[12]

Lũy quá với số nón nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu n là một trong những nguyên vẹn ko âm, thì

Kết ngược ở dạng chuẩn chỉnh tắc nếu như a/b ở dạng chuẩn chỉnh tắc. điều đặc biệt,

Xem thêm: tao bai bai diễn viên

Nếu a ≠ 0, thì

Nếu như a/b ở dạng chuẩn chỉnh tắc, dạng chuẩn chỉnh tắc của sản phẩm là bn/an nếu như a > 0 hoặc n chẵn. Nếu ko, dạng chuẩn chỉnh tắc của sản phẩm là bn/an.

Biểu diễn[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu trình diễn nhập hệ thập phân và những hệ cơ số khác[sửa | sửa mã nguồn]

Khi trình diễn số hữu tỉ theo gót hệ ghi số cơ số 10 (dạng thập phân), số hữu tỉ rất có thể là số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần trả và ngược lại.

Một phân số tối giản với kiểu dương và kiểu không tồn tại ước yếu tắc nào là ngoài 2 và 5 thì phân số cơ viết lách được bên dưới dạng số thập phân hữu hạn

VD: phân số đem kiểu số là không tồn tại ước yếu tắc nào là không giống 5 nên rất có thể viết lách được bên dưới dạng số thập phân hữu hạn

Một phân số tối giản với kiểu dương và kiểu đem tối thiểu 1 ước yếu tắc không giống 2 và 5 thì phân số cơ viết lách bên dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Ví dụ 1: phân số đem kiểu số là 7 nên được viết lách bên dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Ví dụ 2: phân số đem kiểu số là 17 nên được viết lách bên dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Dãy những chữ số tái diễn nhập trình diễn thập phân của những số thập phân vô hạn tuần trả được gọi là chu kỳ luân hồi, và số những chữ số nhập chu kỳ luân hồi này rất có thể minh chứng được rằng ko vượt lên trên quá |b|.

Một cơ hội tổng quát mắng, nhập một hệ cơ số ngẫu nhiên, những chữ số sau vệt phẩy của số hữu tỉ là hữu hạn hoặc vô hạn tuần trả.

Biểu trình diễn vày liên phân số[sửa | sửa mã nguồn]

Một liên phân số hữu hạn là một trong biểu thức ví dụ điển hình như

trong cơ an là những số nguyên vẹn. Mọi số hữu tỉ a/b rất có thể được trình diễn bên dưới dạng một liên phân số hữu hạn, tuy nhiên thông số an rất có thể được xác lập bằng phương pháp vận dụng thuật toán Euclide mang lại (a, b).

Xây dựng luyện những số hữu tỉ kể từ luyện số nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu thiết bị thể hiện tại sự trình diễn những lớp tương tự của những cặp số nguyên

Trong toán học tập tiến bộ, người tao xây cất giao hội những số hữu tỉ như ngôi trường những thương của .

Xét luyện tích Decaters:

=

Trên cơ xác lập một mối quan hệ tương đương:

lớp tương tự của cặp (a, b) được ký hiệu là a/b và gọi là thương của a mang lại b:

Tập những lớp này (tập thương) được gọi là luyện những số hữu tỷ và ký hiệu là . Trên luyện khái niệm những luật lệ toán:

Khi cơ nếu

thì ;
.

Do cơ những luật lệ toán bên trên rất có thể được gửi quý phái trở thành những luật lệ toán bên trên luyện những lớp tương tự trình bày bên trên, tức thị luyện .

Để coi là thành phần của tao nhúng nhập nhờ đơn ánh cho từng số nguyên vẹn n ứng với lớp n/1 nhập .\

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Minh họa về tính chất rất có thể kiểm đếm được của những số hữu tỷ dương

Tập ăn ý Z của toàn bộ những số hữu tỉ, cùng theo với những luật lệ toán nằm trong và nhân được trình diễn phía trên, tạo ra trở thành một ngôi trường.[9]

Z không tồn tại luật lệ tự động đẳng cấu nào là ngoài độ quý hiếm đơn vị chức năng.

Với trật tự được khái niệm phía trên, Z là ngôi trường đem loại tự[11] không tồn tại ngôi trường con cái nào là không giống ngoài chủ yếu nó, và là ngôi trường đem trật tự nhỏ nhất, theo gót tức thị từng ngôi trường đem trật tự đều có một ngôi trường con cái độc nhất đẳng cấu với Z.

Z là ngôi trường phân số của giao hội những số nguyên vẹn Q.[13] Tính đóng góp đại số của Q, tức là ngôi trường của những nghiệm của những nhiều thức hữu tỷ, là ngôi trường của những số đại số.[cần dẫn nguồn]

Tập ăn ý toàn bộ những số hữu tỉ rất có thể kiểm đếm được (xem hình vẽ), trong những khi giao hội toàn bộ những số thực (cũng như giao hội những số vô tỉ) là ko kiểm đếm được. cũng có thể kiểm đếm được, giao hội những số hữu tỉ là giao hội trống rỗng, tức là đa số toàn bộ những số thực đều vô tỉ, theo gót nghĩa của chừng đo Lebesgue.[cần dẫn nguồn]

Số hữu tỷ là một trong giao hội đem trật tự động trù mật: thân thiện nhì số hữu tỷ ngẫu nhiên, đem một trong những hữu tỷ không giống, và vì thế, đem vô số số hữu tỷ không giống thân thiện bọn chúng.[9] Ví dụ, so với nhì phân số ngẫu nhiên thỏa mãn

(với đều dương), tao có

Bất kỳ giao hội đem trật tự trọn vẹn nào là rất có thể kiểm đếm được, trù phú (theo nghĩa trên) và không tồn tại thành phần nhỏ nhất hoặc lớn số 1 nào là là đẳng cấu trật tự với giao hội những số hữu tỉ.[14]

Với số thực và đặc thù pô[sửa | sửa mã nguồn]

Số hữu tỉ là một trong luyện con cái trù phú của những số thực: từng số thực đều sở hữu những số hữu tỉ ngay gần nó một cơ hội tùy ý.[9] Một đặc thù tương quan là số hữu tỉ là số độc nhất đem không ngừng mở rộng hữu hạn bên dưới dạng liên phân số thường thì.

Theo trật tự của bọn chúng, những số hữu tỷ mang 1 cấu hình link trật tự động. Các số hữu tỉ, như 1 không khí con cái của những số thực, cũng có thể có một cấu hình link không khí con cái. Các số hữu tỉ tạo ra trở thành một không khí số liệu bằng phương pháp dùng metric chênh chếch vô cùng d(x, y) = | xy |, và điều này dẫn đến một cấu hình link loại phụ vương bên trên Q. Tất cả phụ vương cấu hình link trùng khớp và đổi mới những hợp lý và phải chăng trở thành một ngôi trường tôpô. Các số hữu tỉ là một trong ví dụ cần thiết của một không khí ko cần là thon gọn toàn cục. Các hợp lý và phải chăng được đặc thù về mặt mày cấu hình link là không khí rất có thể kiểm đếm được độc nhất tuy nhiên không tồn tại điểm xa lánh. Không gian tham này cũng trọn vẹn bị ngắt liên kết. Các số hữu tỉ ko tạo ra trở thành một không khí số liệu trả chỉnh  ; những số thực là sự việc triển khai xong của Q theo gót metric d(x, y) = | xy | bên trên.[11]

Số p-adic[sửa | sửa mã nguồn]

Ngoài metric độ quý hiếm vô cùng được kể phía trên, đem những số liệu không giống đổi mới Q trở thành một ngôi trường tô pô liên kết:

Cho p là một trong những yếu tắc và với từng số nguyên vẹn không giống ko a, mang lại | a |p = pn, nhập cơ pn là lũy quá tối đa của p phân chia không còn a.

Xem thêm: tác dụng của dấu gạch ngang lớp 3

Ngoài đi ra tao đặt điều | 0 |p = 0. Đối với ngẫu nhiên số hữu tỉ a/b, tao đặt điều | a/b |p = | a |p/| b |p .

Khi cơ dp(x, y) = | xy |p xác lập một metric bên trên Q[15]

Không gian tham metric (Q, dp) ko hoàn hảo và phần triển khai xong của chính nó là ngôi trường số p -adic Qp. Định lý Ostrowski tuyên bố rằng ngẫu nhiên độ quý hiếm vô cùng ko tầm thông thường nào là bên trên số hữu tỉ Q đều tương tự với độ quý hiếm vô cùng thực thường thì hoặc độ quý hiếm vô cùng p -adic.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Số nguyên vẹn tố
  • Số nguyên
  • Số tự động nhiên
  • Số vô tỉ
  • Số đại số
  • Số siêu việt
  • Số thực
  • Số phức
  • Số siêu phức

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Rosen, Kenneth (2007). Discrete Mathematics and its Applications (ấn bạn dạng 6). Thủ đô New York, NY: McGraw-Hill. tr. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3.
  2. ^ Lass, Harry (2009). Elements of Pure and Applied Mathematics . Courier Corporation. tr. 382. ISBN 978-0-486-47186-0. Extract of page 382
  3. ^ Robinson, Julia (1996). The Collected Works of Julia Robinson. American Mathematical Soc. tr. 104. ISBN 978-0-8218-0575-6. Extract of page 104
  4. ^ Rouse, Margaret. “Mathematical Symbols”. Truy cập ngày một tháng tư năm 2015.
  5. ^ Weisstein, Eric W. “Rational Number”. mathworld.wolfram.com (bằng giờ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  6. ^ “Rational number”. Encyclopedia Britannica (bằng giờ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  7. ^ Weisstein, Eric W. “Rational Number”. mathworld.wolfram.com (bằng giờ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  8. ^ Rosen, Kenneth. Discrete Mathematics and its Applications (ấn bạn dạng 6). Thủ đô New York, NY: McGraw-Hill. tr. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3.
  9. ^ a b c d e f g h i Biggs, Norman L. (2002). Discrete Mathematics. India: Oxford University Press. tr. 75–78. ISBN 978-0-19-871369-2.
  10. ^ Gilbert, Jimmie; Linda, Gilbert (2005). Elements of Modern Algebra (ấn bạn dạng 6). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. tr. 243–244. ISBN 0-534-40264-X.
  11. ^ a b c d “Fraction - Encyclopedia of Mathematics”. encyclopediaofmath.org. Truy cập ngày 17 mon 8 năm 2021.
  12. ^ “Fraction - Encyclopedia of Mathematics”. encyclopediaofmath.org. Truy cập ngày 17 mon 8 năm 2021.
  13. ^ Bourbaki, N. (2003). Algebra II: Chapters 4 - 7. Springer Science & Business Media. tr. A.VII.5.
  14. ^ (Bản report kỹ thuật).
  15. ^ Weisstein, Eric W. “p-adic Number”. mathworld.wolfram.com (bằng giờ Anh). Truy cập ngày 17 mon 8 năm 2021.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

  • Số hữu tỉ bên trên MathWorld.