Bài ghi chép Hoán vị, Chỉnh thích hợp, Tổ thích hợp và cơ hội giải bài bác tập dượt sẽ hỗ trợ học viên nắm rõ lý thuyết, biết phương pháp thực hiện bài bác tập dượt từ cơ kế hoạch ôn tập dượt hiệu suất cao nhằm đạt thành quả cao trong những bài bác thi đua môn Toán 11.
Hoán vị, Chỉnh thích hợp, Tổ thích hợp và cơ hội giải bài bác tập
1. Lý thuyết
Bạn đang xem: bài tập hoán vị chỉnh hợp tổ hợp
a) Hoán vị
- Cho tập dượt A bao gồm n thành phần (n ≥ 1). Khi xếp n thành phần này theo đòi một trật tự, tớ được một hoạn những thành phần của tập trung A, (gọi tắt là một trong hoạn của A).
- Số hoạn của một tập trung với n thành phần là Pn = n! = n(n – 1)(n – 2)…3.2.1.
- Đặc điểm: Đây là bố trí với trật tự và số thành phần bố trí trúng ngay số thành phần vô group (bằng n).
- Chú ý: Giai thừa: n! = n(n – 1)(n – 2)…3.2.1
Quy ước: 0! = 1; 1! = 1.
b) Chỉnh hợp
- Cho tập trung A với n thành phần và mang đến số vẹn toàn k, (1 ≤ k ≤ n). Khi lấy k thành phần của A và bố trí bọn chúng theo đòi một trật tự, tớ được một chỉnh thích hợp chập k của n thành phần của A (gọi tắt là một trong chỉnh thích hợp n chập k của A).
- Số những chỉnh thích hợp chập k của một tập trung với n thành phần là:
- Một số quy ước:
- Đặc điểm: Đây là bố trí với trật tự và số thành phần được bố trí là k: 0 ≤ k ≤ n .
c) Tổ hợp
Cho tập trung A với n thành phần và mang đến số vẹn toàn k, (1 ≤ k ≤ n). Mỗi tập trung con cái của A với k thành phần được gọi là một trong tổng hợp chập k của n thành phần của A.
- Số những tổng hợp chập k của một tập trung với n thành phần là :
.
- Tính hóa học :
- Đặc điểm: Tổ thích hợp là lựa chọn thành phần ko cần thiết trật tự, số thành phần được lựa chọn là k: 0 ≤ k ≤ n
2. Các dạng bài bác tập
Dạng 1: Bài toán kiểm đếm số tự động nhiên
Ví dụ 1. Từ những số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Có từng nào số đương nhiên thỏa mãn
a) Số với 7 chữ số không giống nhau
b) Số với 5 chữ số không giống nhau
c) Số với 7 chữ số không giống nhau và với chữ số một là hàng trăm nghìn
d) Số với 7 chữ số không giống nhau và chữ số 2 ko ở mặt hàng đơn vị
Lời giải
a) Số những số với 7 chữ số không giống nhau được lập kể từ 7 chữ số bên trên là 7! = 5040
b) Số những số với 5 chữ số không giống nhau được lập kể từ 7 chữ số bên trên là
c) Số với 7 chữ số không giống nhau và với chữ số một là hàng trăm nghìn
Chữ số hàng trăm ngàn với một cách lựa chọn (là chữ số 1)
Các mặt hàng không giống, số cơ hội lựa chọn là một trong hoạn của 6 chữ số còn lại: 6!
Vậy có một.6! = 720 số với 7 chữ số không giống nhau và với chữ số một là hàng trăm ngàn.
d) Số với 7 chữ số không giống nhau và chữ số 2 ko ở mặt hàng đơn vị
Số những số với 7 chữ số không giống nhau là 7!
Ta lập số với 7 chữ số không giống nhau với chữ số 2 ở mặt hàng đơn vị
Chữ số mặt hàng đơn vị chức năng với một cách lựa chọn (là chữ số 2)
Các mặt hàng không giống, số cơ hội lựa chọn là một trong hoạn của 6 chữ số còn lại: 6!
Số những số với 7 chữ số và chữ số 2 ở mặt hàng đơn vị chức năng là: 1.6!
Vậy với 7! – 6! = 4320 số với 7 chữ số không giống nhau và chữ số 2 ko ở mặt hàng đơn vị chức năng.
Ví dụ 2. Từ những chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. cũng có thể lập được từng nào số đương nhiên thỏa mãn
a) Số với 10 chữ số, vô cơ chữ số 3 xuất hiện trúng 3 phiên, những chữ số không giống xuất hiện trúng một lần
b) Số chẵn với 5 chữ số không giống nhau
c) Số với 6 chữ số không giống nhau, vô cơ chữ số một là mặt hàng đơn vị
d) Số với 6 chữ số không giống nhau, vô cơ chữ số 2 và 3 đứng cạnh nhau.
Lời giải
a) Giả sử số với 10 chữ số cần thiết lập ở 10 địa điểm như hình dưới
|
(1) |
(2) |
(3) |
(4) |
(5) |
(6) |
(7) |
(8) |
(9) |
(10) |
+ Số những số với 10 chữ số, chữ số 3 xuất hiện 3 phiên, những chữ số không giống xuất hiện trúng 1 phiên (Kể cả chữ số 0 đứng đầu)
Chữ số 3 xuất hiện trúng 3 phiên, tớ lựa chọn 3 địa điểm để tại vị số 3: có
cách chọn
Các chữ số không giống xuất hiện trúng 1 phiên là hoạn của 7: với 7! cơ hội chọn
Do cơ có
số (kể cả số 0 đứng đầu).
+ Số những số với 10 chữ số, chữ số 3 xuất hiện 3 phiên, những chữ số không giống xuất hiện trúng 1 phiên và chữ số 0 đứng đầu
Vị trí trước tiên với một cách lựa chọn (là chữ số 0)
Chữ số 3 xuất hiện trúng 3 phiên, tớ lựa chọn 3 địa điểm vô 9 địa điểm còn sót lại để tại vị số 3: có
cách chọn
Các chữ số không giống xuất hiện trúng 1 phiên là hoạn của 6: với 6! cơ hội lựa chọn.
Do cơ có
Vậy có
số với 10 chữ số, vô cơ chữ số 3 xuất hiện trúng 3 phiên, những chữ số không giống xuất hiện trúng một phiên.
b) Gọi số
là số chẵn với 5 chữ số trong những số trên
Vì
là số chẵn nên e ∈{0;2;4;6}
+ Trường thích hợp 1: e = 0
Số cơ hội lựa chọn a, b, c, d vô 7 số còn sót lại là
Do cơ với 
.
+ Trường thích hợp 2: e ∈{2;4;6}
Chọn e: với 3 cơ hội chọn
Chọn a kể từ những số {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}\{e}: với 6 cơ hội chọn
Chọn b, c, d kể từ những số {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}\{a, e}: có
Do cơ có
số
Vậy có
số chẵn với 5 chữ số không giống nhau được lập kể từ những chữ số bên trên.
c) Giả sử số với 6 chữ số cần thiết lập ở 6 địa điểm như hình dưới
|
(1) |
(2) |
(3) |
(4) |
(5) |
(6) |
Lập số với 6 chữ số không giống nhau, chữ số 1 ở mặt hàng đơn vị
Vị trí (6) với một cách lựa chọn (là chữ số 1)
Vị trí (1) với 6 cơ hội lựa chọn (là những chữ số 2; 3; 4; 5; 6; 7)
Bốn địa điểm còn sót lại là chỉnh thích hợp chập 4 của 6 số còn lại: có
số
Vậy có
số với 6 chữ số, vô cơ chữ số một là mặt hàng đơn vị chức năng.
d) Để lập số với số 2 và 3 đứng cạnh nhau tớ ghép số 2 và 3 cùng nhau, đặt điều vô 1 địa điểm.
Giả sử số với 6 chữ số cần thiết lập ở 5 địa điểm như hình dưới
|
(1) |
(2) |
(3) |
(4) |
(5) |
Vị trí (1) với 6 cơ hội lựa chọn (là 1; 2 và 3; 4; 5; 6; 7)
Các địa điểm còn sót lại với là chỉnh thích hợp chập 4 của 6 số còn lại: có
Ở vị chí chứa chấp số 2 và 3: với 2! cơ hội bố trí chữ số 2 và 3.
Vậy có
số với 6 chữ số không giống nhau, vô cơ chữ số 2 và 3 đứng cạnh nhau.
Dạng 2: Bài toán xếp chỗ
Phương pháp giải:
* Sử dụng quy tắc nằm trong và quy tắc nhân
* Chú ý:
- Bài toán kiểm đếm đòi hỏi bố trí thành phần A và B cần đứng cạnh nhau, tớ bó (gộp) 2 thành phần thực hiện 1, coi như bọn chúng là một phần tử rồi bố trí.
- Bài toán kiểm đếm đòi hỏi bố trí thành phần A và B ko đứng cạnh nhau, tớ kiểm đếm phần bù (Tức là kiểm đếm 2 thành phần A và B đứng cạnh nhau).
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Có 7 học viên nữ giới và 3 học viên phái nam. Ta ham muốn bố trí vào trong 1 bàn nhiều năm với 5 ghế ngồi. Hỏi với từng nào cơ hội bố trí để:
a) Sắp xếp tùy ý
b) Các chúng ta phái nam ngồi cạnh nhau và chúng ta nữ giới ngồi cạnh nhau.
c) 3 học viên phái nam ngồi kề nhau.
d) Không với 2 chúng ta phái nam nào là ngồi cạnh nhau.
Lời giải
a) Sắp xếp 10 chúng ta tùy ý là hoạn của 10: với 10! cơ hội xếp.
b) Xếp những 7 cô gái ngồi cạnh nhau và 3 chúng ta phái nam ngồi cạnh nhau. Ta ghép toàn bộ 7 cô gái vô 1 “bó”, 3 chúng ta phái nam vô 1 “bó”
Rồi đem bố trí 2 “bó” tớ được 2! cơ hội xếp.
Trong 7 chúng ta nữ: tớ với 7! cơ hội xếp
Trong 3 chúng ta nam: tớ với 3! cơ hội xếp
Vậy với 2! . 7! . 3! = 60480 cơ hội xếp.
c) Xếp 3 chúng ta phái nam ngồi cạnh nhau. Ta ghép 3 chúng ta phái nam vô 1 “bó”
Rồi đem bố trí 7 cô gái và 1 “bó” tớ được 8! cơ hội xếp
Trong 3 chúng ta nam: tớ với 3! cơ hội xếp
Vậy với 8! . 3! = 241920 cơ hội xếp.
d) Để xếp không tồn tại chúng ta phái nam nào là ngồi cạnh nhau, tớ bố trí 7 cô gái vô bàn nhiều năm trước: tớ được 7! cơ hội xếp
Khi cơ tạo nên 8 khoảng tầm trống không (là 6 khoảng tầm trống không thân thiết 2 cô gái và 2 khoảng tầm trống không ngoài cùng)
Ta xếp 3 chúng ta phái nam vô 3 khoảng tầm trống không bất kì (mỗi chúng ta tại 1 khoảng tầm trống): tớ được
.
Vậy có
cách xếp.
Ví dụ 2. Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào trong 1 ghế nhiều năm. Hỏi với từng nào cơ hội bố trí sao cho:
a) A và F ngồi ở nhì đầu ghế
b) A và F ngồi cạnh nhau
c) A và F ko ngồi cạnh nhau.
Lời giải
a) Xếp A và F ở nhì đầu ghế: với 2! cơ hội xếp A và F
Các địa điểm ở giữa: với 4! cơ hội xếp
Vậy với 2! . 4! = 48 cơ hội xếp sao mang đến A và F ở nhì đầu ghế.
b) Xếp A và F ngồi cạnh nhau tớ ghép A và F trở nên 1 “bó”: với 2 ! cơ hội bố trí địa điểm bên phía trong “bó”
Rồi đem bố trí 4 người còn sót lại và 1 “bó” bên trên ghế dài: tớ được 5! cơ hội xếp
Xem thêm: đội hình cờ liên quân mạnh nhất
Vậy với 2! . 5! = 240 cơ hội xếp sao mang đến A và F ngồi cạnh nhau.
c) Số cơ hội xếp 6 người bất kì là 6! cách
Số cơ hội xếp sao mang đến A và F ngồi cạnh nhau là 240 cơ hội (câu c)
Vậy với 6! – 240 = 480 cơ hội xếp sao mang đến A và F ko ngồi cạnh nhau.
Dạng 3: Bài toán chọn
Phương pháp giải:
Sử dụng quy tắc nằm trong, nhân, hoạn, chỉnh thích hợp, tổng hợp.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Một vỏ hộp chứ 6 viên bi white và 5 viên bi xanh rì, 9 viên bi đỏ lòm. Lấy 4 viên bi kể từ vỏ hộp, với từng nào cơ hội lấy được:
a) 4 viên nằm trong color.
b) 2 viên bi white và 2 viên bi xanh rì.
c) Có tối thiểu 1 viên red color.
d) Có đầy đủ phụ thân color.
Lời giải
a) Trường thích hợp 1: Lấy được 4 viên bi nằm trong color trắng: 
cách
Trường thích hợp 2: Lấy được 4 viên bi nằm trong color xanh: 
cách
Trường thích hợp 3: Lấy được 4 viên bi nằm trong color đỏ: 
cách
Vậy có
cách bi lựa chọn 4 viên bi nằm trong color.
b) Chọn được 2 viên bi trắng: với 
cách
Chọn được 2 viên bi xanh: có
cách
Vậy có
cách lựa chọn 2 viên bi white và 2 viên bi xanh rì.
c) Số cơ hội lựa chọn 4 viên bi bất kì (có toàn bộ trăng tròn viên): có
cách
Số cơ hội lựa chọn 4 viên bi không tồn tại red color (Còn lại 6 + 5 = 11 viên bi ko cần color đỏ): có
cách
Vậy có
cách chọn lựa được tối thiểu 1 viên red color.
d) Trường thích hợp 1: Chọn được 2 viên bi white, 1 viên bi xanh rì, 1 viên bi đỏ: có
cách
Trường thích hợp 2: Chọn được một viên bi white, 2 viên bi xanh rì, 1 viên bi đỏ: có
cách
Trường thích hợp 3: Chọn được một viên bi white, 1 viên bi xanh rì, 2 viên bi đỏ: có
cách
Vậy có
cách lựa chọn 4 viên bi với đầy đủ phụ thân color.
Ví dụ 2: Một lớp học tập với 40 học viên. Có từng nào cơ hội lựa chọn ra 5 bạn
a) Chọn bất kì
b) Chọn 5 chúng ta rồi cắt cử phục vụ, vô cơ có một lớp trưởng, 1 túng thiếu loại, 1 thư kí và 2 lớp phó.
Lời giải
a) Chọn bất kì 5 chúng ta vô 40 học tập sinh: có
cách lựa chọn.
b) Chọn 3 chúng ta, vô cơ có một lớp trưởng, 1 túng thiếu thư, 1 thư kí: có
cách
Chọn 2 chúng ta vô 37 chúng ta còn sót lại thực hiện lớp phó: có
cách.
Vậy có
cách lựa chọn.
Dạng 4: Bài toán tương quan cho tới hình học
Phương pháp giải:
* Sử dụng quy tắc nằm trong và quy tắc nhân
* Chú ý:
- Đếm vectơ: Hai điểm đầu và cuối không giống nhau (Tức là vectơ AB và vectơ BA tính gấp đôi kiểm đếm không giống nhau).
- Đếm đoạn thẳng: Hai đầu mút với tầm quan trọng như nhau (Tức là đoạn trực tiếp AB và đoạn trực tiếp BA chỉ tính 1 phiên đếm)
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho nhiều giác lồi n cạnh.
a) Có từng nào vectơ không giống vectơ ko, với điểm đầu và điểm cuối là 2 đỉnh của nhiều giác.
b) Có từng nào lối chéo cánh của nhiều giác.
c) Có từng nào tam giác với 3 đỉnh là 3 đỉnh của nhiều giác bên trên.
Lời giải
a) Có
vectơ không giống vectơ ko, với điểm đầu và điểm cuối là 2 đỉnh của nhiều giác.
b) Số đoạn trực tiếp được tạo nên kể từ n đỉnh của nhiều giác là:
đoạn thẳng
Trong cơ với n đoạn trực tiếp là cạnh của nhiều giác
Vậy có
đường chéo cánh trong không ít giác n cạnh.
c) Có
tam giác với 3 đỉnh là 3 đỉnh của nhiều giác bên trên.
Ví dụ 2: Trong mặt mày bằng với 2020 đường thẳng liền mạch tuy vậy song cùng nhau và 2021 đường thẳng liền mạch tuy vậy song không giống nằm trong hạn chế group 2020 đường thẳng liền mạch cơ. Có từng nào hình bình hành được tạo nên kể từ những đường thẳng liền mạch tuy vậy song cơ.
Lời giải
Hình bình hành được tạo nên vì chưng nhì cặp đường thẳng liền mạch đối nhau tuy vậy song cùng nhau.
Từ 2020 đường thẳng liền mạch tuy vậy tuy vậy, lựa chọn 2 lối thẳng: có
cách
Từ 2021 đường thẳng liền mạch tuy vậy song không giống, lựa chọn 2 lối thẳng: có
cách
Vậy có
hình bình hành được tạo nên.
3. Bài tập dượt tự động luyện
Câu 1. Cho những số 1; 5; 6; 7, hoàn toàn có thể lập được từng nào số đương nhiên với 4 chữ số với những chữ số không giống nhau?
A. 12 B. 24 C. 64 D. 256
Câu 2. Sắp xếp năm chúng ta học viên An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào trong 1 cái ghế nhiều năm với 5 số chỗ ngồi. Hỏi với từng nào cơ hội bố trí sao cho chính mình An và chúng ta Dũng luôn luôn ngồi ở nhì đầu ghế?
A. 120 B. 16 C. 12 D. 24
Câu 3. Có từng nào số đương nhiên với 4 chữ số không giống nhau và không giống 0 nhưng mà trong những số luôn luôn trực tiếp xuất hiện nhì chữ số chẵn và nhì chữ số lẻ?
Câu 4. Có 6 học viên và 2 giáo viên được xếp trở nên mặt hàng ngang. Hỏi với từng nào cơ hội xếp sao mang đến nhì giáo viên ko đứng cạnh nhau?
A. 30240 cơ hội B. 720 cơ hội C. 362880 cơ hội D. 1440 cách
Câu 5. Một tổ với 10 người bao gồm 6 phái nam và 4 nữ giới. Cần lập một đoàn đại biểu bao gồm 5 người, chất vấn với từng nào cơ hội lập?
A. 25 B. 252 C. 50 D. 455
Câu 6. Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng white và 4 bông hồng đỏ lòm (các nhành hoa coi như song một không giống nhau), người tớ ham muốn lựa chọn 1 bó hồng bao gồm 7 bông, chất vấn với từng nào cơ hội lựa chọn bó hoa vô cơ với tối thiểu 3 bông hồng vàng và 3 bông hồng đỏ?
A. 10 cơ hội B. trăng tròn cơ hội C. 120 cơ hội D. 150 cách
Câu 7. Với những chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 hoàn toàn có thể lập được từng nào số bao gồm 8 chữ số, vô cơ chữ số 1 xuất hiện 3 phiên, từng chữ số không giống xuất hiện trúng một lần?
A. 6720 số B. 4032 số C. 5880 số D. 840 s
Câu 8. Sắp xếp 5 học viên lớp A và 5 học viên lớp B vô nhì mặt hàng ghế đối lập nhau, từng mặt hàng 5 ghế sao mang đến 2 học viên ngồi đối lập nhau thì không giống lớp. Khi cơ số cơ hội xếp là:
A. 460000 B. 460500 C. 460800 D. 490900
Câu 9. Một group bao gồm 6 học viên phái nam và 7 học viên nữ giới. Hỏi với từng nào cơ hội lựa chọn kể từ cơ rời khỏi 3 học viên nhập cuộc văn nghệ sao mang đến luôn luôn với tối thiểu một học viên phái nam.
A. 245 B. 3480 C. 336 D. 251
Câu 10. Một group học viên bao gồm 4 học viên phái nam và 5 học viên nữ giới. Hỏi với từng nào cơ hội bố trí 9 học viên bên trên trở nên 1 mặt hàng dọc sao mang đến phái nam nữ giới đứng xen kẽ?
A. 5760 B. 2880 C. 120 D. 362880
Câu 11. Một tổ với 5 học viên nữ giới và 6 học viên phái nam. Số cơ hội lựa chọn tình cờ 5 học viên của tổ vô cơ đối với cả học viên phái nam và học viên nữ giới là ?
A. 545 B. 462 C. 455 D. 456
Câu 12. Một vỏ hộp đựng 8 viên bi màu xanh da trời, 5 viên bi đỏ lòm, 3 viên bi gold color. Có từng nào cơ hội lựa chọn kể từ vỏ hộp cơ rời khỏi 4 viên bi sao mang đến số bi xanh rì ngay số bi đỏ?
A. 280 B. 400 C. 40 D. 1160
Câu 13. Một túi đựng 6 bi white, 5 bi xanh rì. Lấy rời khỏi 4 viên bi kể từ túi cơ. Hỏi với từng nào cơ hội lấy nhưng mà 4 viên bi kéo ra với đầy đủ nhì color.
A. 300 B. 310 C. 320 D. 330
Câu 14. Trong mặt mày bằng cho 1 tập trung bao gồm 6 điểm phân biệt. Có từng nào vectơ không giống vectơ
có điểm đầu và điểm cuối nằm trong tập trung điểm này?
A. 15 B. 12 C. 1440 D. 30
Câu 15. Cho hai tuyến đường trực tiếp d1 và d2 tuy vậy song cùng nhau. Trên d1 lấy 5 điểm phân biệt, bên trên d2 lấy 7 điểm phân biệt. Hỏi với từng nào tam giác nhưng mà những đỉnh của chính nó được lấy kể từ những điểm bên trên hai tuyến đường trực tiếp d1 và d2.
A. 220 B. 175 C. 1320 D. 7350
Bài 16. Có từng nào số đương nhiên bao gồm 5 chữ số không giống nhau lập kể từ những chữ số 1, 2, 3, 4, 5 được chính thức vì chưng chữ số 5?
Bài 17. cũng có thể lập được từng nào số với 6 chữ số không giống nhau kể từ những chữ số 1; 2; 3; 5; 6; 7? Trong những số cơ với từng nào số lẻ?
Bài 18. Có 6 cái ghế ở vô một chống học tập. Hỏi với 6 học viên ngồi xuống thì với từng nào cơ hội xếp? Nếu với 1 chúng ta An (có vô 6 học viên trên) ham muốn ngồi xuống cái ghế ngoài nằm trong phía trái thì với từng nào cơ hội xếp?
Bài 19. Từ những chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập những số đương nhiên bao gồm 6 chữ số không giống nhau. Hỏi:
a. Có toàn bộ từng nào số?
b. Có từng nào số chẵn, từng nào số lẻ?
c. Có từng nào số bé nhiều hơn 432.000?
Bài trăng tròn. Có từng nào cơ hội bố trí số chỗ ngồi mang đến 8 người vô 8 ghế kê trở nên một dãy?
Bảng đáp án
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
B |
C |
C |
A |
B |
D |
C |
C |
D |
B |
C |
B |
B |
D |
B |
Xem thêm thắt cách thức giải những dạng bài bác tập dượt Toán lớp 11 với đáp án, hoặc khác:
- Nhị thức Niu tơn và cơ hội giải những dạng bài bác tập dượt
- Cách giải phương trình, bất phương trình tổng hợp hoặc, cụ thể
- Cách xác lập trở nên cố và tính xác xuất của trở nên cố
- Tổng thích hợp Công thức tính phần trăm hoặc nhất
- Phương pháp quy hấp thụ toán học tập và cơ hội giải bài bác tập dượt
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ xoắn ốc Art of Nature Thiên Long color xinh xỉu
- Biti's rời khỏi khuôn mới mẻ xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 11
Bộ giáo án, bài bác giảng powerpoint, đề thi đua giành cho nghề giáo và gia sư giành cho bố mẹ bên trên https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official
Tổng đài tương hỗ ĐK : 084 283 45 85
Đã với ứng dụng VietJack bên trên điện thoại thông minh, giải bài bác tập dượt SGK, SBT Soạn văn, Văn khuôn, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải tức thì phần mềm bên trên Android và iOS.
Theo dõi Shop chúng tôi không lấy phí bên trên social facebook và youtube:
Nếu thấy hoặc, hãy khuyến khích và share nhé! Các phản hồi ko phù phù hợp với nội quy phản hồi trang web sẽ ảnh hưởng cấm phản hồi vĩnh viễn.
Giải bài bác tập dượt lớp 11 sách mới mẻ những môn học
Bình luận