căn 2

By Admin 26/10/2023 0

"Hằng số Pythagoras" trả hướng về trên đây. Đừng lầm lẫn với Số Pythagoras.

Căn bậc nhì của 2 vị với chừng lâu năm của cạnh huyền của một tam giác vuông với nhì cạnh lòng vị 1.

Căn bậc nhì của 2, hoặc lũy quá 50% của 2, được ghi chép là √2 hoặc 21⁄2, là số đại số dương sao mang đến Lúc nhân với chủ yếu nó, mang đến tao số 2. Đúng rộng lớn, nó được gọi là căn bậc nhì số học tập của 2 nhằm phân biệt với số đối của chính nó với đặc thù tương tự động.

Bạn đang xem: căn 2

Trong hình học tập, căn bậc nhì của 2 là chừng lâu năm đàng chéo cánh của một hình vuông vắn với cạnh lâu năm 1 đơn vị; khởi đầu từ ấn định lý Pythagoras. Nó có lẽ rằng là số vô tỉ được nghe biết trước tiên.

Một số hữu tỉ xấp xỉ với căn bậc nhì của nhì với khuôn số nhỏ vừa phải cần là phân số 99/70 (≈ 1.4142857).

Dãy A002193 vô OEIS bao gồm những chữ số vô trình diễn thập phân của căn bậc nhì của 2, cho tới 65 chữ số thập phân:

1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799...

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Bản khu đất sét Babylon YBC 7289 với chú thích. Ngoài việc đã cho thấy căn bậc nhì của 2 vô hệ lục thập phân (1 24 51 10), bạn dạng khu đất sét này cũng cho 1 ví dụ nếu như một cạnh của hình vuông vắn là 30 thì đàng chéo cánh là 42 25 35. Trong hệ lục thập phân 30 hoàn toàn có thể là 0 30 = 1/2, còn 0 42 25 35 xấp xỉ vị 0.7071065.

Bảng khu đất sét Babylon YBC 7289 (khoảng 1800–1600 TCN) cho 1 xấp xỉ của √2 vô tứ chữ số lục thập phân, 1 24 51 10, trúng cho tới khoảng tầm sáu chữ số thập phân,[1] và là xấp xỉ lục thập phân cực tốt của √2 sử dụng 4 chữ số:

Một xấp xỉ nguyên sơ không giống xuất hiện nay vô văn khiếu nại toán học tập của bấm Độ cổ kính, quyển Sulbasutras (khoảng 800–200 BC) như sau: Tăng chừng lâu năm [của cạnh] vị 1 phần thân phụ chủ yếu nó và 1 phần tư của 1 phần thân phụ và giảm sút 1 phần thân phụ mươi tư của 1 phần tư bại.[2] Tức là,

Các môn thiết bị của Pythagoras phân phát hiện nay rằng đàng chéo cánh của hình vuông vắn và cạnh của chính nó là ko thể sánh được, hoặc bám theo ngữ điệu văn minh, căn bậc nhì của 2 là một số trong những vô tỉ. Không nhiều điều được hiểu ra về thời hạn hoặc tình cảnh của mày mò này, tuy nhiên cái brand name thông thường được nói đến là Hippasus của Metapontum. Các môn thiết bị Pythagoras coi tính vô tỉ của căn bậc nhì của 2 là một trong kín, và bám theo lời nói kể, Hippasus đã trở nên làm thịt vì thế bật mý nó.[3][4][5] Căn bậc nhì của 2 thỉnh thoảng còn được gọi là số Pythagoras hoặc hằng số Pythagoras, như vô Conway & Guy (1996).[6]

Thuật toán tính toán[sửa | sửa mã nguồn]

Có một số trong những thuật toán nhằm xấp xỉ √2, thông thường là bên dưới dạng tỉ số của nhì số vẹn toàn hoặc một số trong những thập phân. Thuật toán thông dụng nhất mang đến việc này, được sử dụng thực hiện hạ tầng trong vô số PC và PC thu về, là cách thức Babylon[7], một trong mỗi cách thức tính căn bậc nhì. Thuật toán này như sau:

Đầu tiên, đoán một số trong những a0 > 0 bất kì. Sau bại, sử dụng số vừa phải đoán, tính từng số hạng bám theo công thức truy hồi sau:

Càng rất nhiều lần tiến hành phép tắc tính bên trên (tức là diện tích lớn lượt tái diễn và số "n" càng lớn), mang đến tao xấp xỉ càng đảm bảo chất lượng của căn bậc nhì của 2. Mỗi lượt tính mang đến tao khoảng tầm gấp hai số chữ số trúng. Bắt đầu với a0 = 1 những số tiếp theo sau là

  • 3/2 = 1.5
  • 17/12 = 1.416...
  • 577/408 = 1.414215...
  • 665857/470832 = 1.4142135623746...

Giá trị của √2 được xem cho tới 137.438.953.444 chữ số thập phân vị team của Yasumasa Kanada năm 1997. Tháng hai năm 2006, kỉ lục mang đến việc tính √2 bị đánh tan dùng một cái máy tính cá thể. Shigeru Kondo tính 1 ngàn tỷ chữ số thập phân của căn bậc nhì của 2 vô năm 2010.[8] Trong số những hằng số toán học tập với trình diễn thập phân cần thiết nhiều khoáng sản đo lường, chỉ mất π là được xem đúng mực rộng lớn.[9] Những đo lường vì vậy đa số là nhằm đánh giá vị thực nghiệm coi những số bại liệu có phải là thông thường hay là không.

Xấp xỉ hữu tỉ[sửa | sửa mã nguồn]

Một xấp xỉ hữu tỉ đơn giản và giản dị 99/70 (≈ 1.4142857) thông thường được dùng. Mặc dù là khuôn số đơn thuần 70, chừng sai chênh chếch của chính nó với độ quý hiếm thực sự thấp hơn 1/10,000 (khoảng +072×10−4). Do nó là một trong giản phân của trình diễn liên phân số của căn bậc nhì của 2, bất kì xấp xỉ hữu tỉ nào là sát rộng lớn cần với khuôn số ko nhỏ nhiều hơn 169, tự 239/169 (≈ 1.4142012) là giản phân tiếp theo sau với sai số khoảng tầm −012×10−4.

Xấp xỉ hữu tỉ 665857/470832, kể từ bước loại tứ vô cách thức Babylon phía trên chính thức với a0 = 1, với sai số khoảng tầm 16×10−12: bình phương của chính nó là 20000000000045…

Kỉ lục[sửa | sửa mã nguồn]

Đây là bảng những kỉ lục mới đây trong những công việc tính những chữ số của √2 (1 ngàn tỉ = 1012 = một triệu.000.000).

Ngày Tên Số chữ số
28 mon 6 năm 2016 Ron Watkins 10 ngàn tỷ
3 tháng bốn năm 2016 Ron Watkins 5 ngàn tỷ
9 mon hai năm 2012 Alexander Yee 2 ngàn tỷ
22 mon 3 năm 2010 Shigeru Kondo 1 ngàn tỷ
Nguồn:[10]

Chứng minh tính vô tỉ[sửa | sửa mã nguồn]

Một minh chứng ngắn ngủn về tính chất vô tỉ của √2 dùng ấn định lý nghiệm hữu tỉ, tuyên bố rằng nếu như P(x) là một trong nhiều thức monic với thông số vẹn toàn, thì bất kì nghiệm hữu tỉ nào là của P(x) cũng chính là một số trong những vẹn toàn. gí dụng ấn định lý mang đến nhiều thức P(x) = x2 − 2, tao suy rời khỏi √2 hoặc là số vẹn toàn hoặc là số vô tỉ. Vì 1<√2<2 nên nó ko là một số trong những vẹn toàn, bởi vậy √2 là một số trong những vô tỉ. Chứng minh này hoàn toàn có thể tổng quát: căn bậc nhì của bất kì số ngẫu nhiên nào là ko cần số chủ yếu phương là một số trong những vô tỉ.

Xem số vô tỉ bậc nhì hoặc lùi vô hạn mang đến minh chứng rằng căn bậc nhì của bất kì số ngẫu nhiên ko cần số chủ yếu phương nào thì cũng là vô tỉ.

Chứng minh vị lùi vô hạn[sửa | sửa mã nguồn]

Một trong mỗi minh chứng thông dụng nhất dùng cách thức lùi vô hạn. Đây cũng chính là minh chứng vị phản hội chứng, vô bại mệnh đề cần thiết minh chứng được fake sử là sai rồi suy rời khỏi fake sử này sẽ không thể xẩy ra, tức mệnh đề cần thiết minh chứng là trúng.

  1. Giả sử √2 là một số trong những hữu tỉ, tức √2 hoàn toàn có thể ghi chép bên dưới dạng một phân số tối giản a/b, vô bại a và b yếu tắc bên cạnh nhau.
  2. Ta suy rời khỏi a2/b2 = 2 và a2 = 2b2.   (a2 và b2 là những số nguyên)
  3. Do bại a2 là số chẵn, nên a cũng chính là số chẵn, tức tồn bên trên số vẹn toàn k sao mang đến a = 2k.
  4. Thay 2k mang đến a vô đẳng thức ở bước 2: 2b2 = (2k)2 tao được b2 = 2k2.
  5. Lập luận như bước 3, tao được b2 là số chẵn, nên b là số chẵn.
  6. Như vậy cả a và b đều là số chẵn, trái khoáy với fake thiết rằng a và b là nhì số yếu tắc bên cạnh nhau.

Vì tao suy rời khỏi được một điều vô lý, fake sử (1) rằng √2 là số hữu tỉ là sai. Tức là, √2 cần là một số trong những vô tỉ.

Chứng minh này được khêu ý vị Aristotle, vô cuốn Analytica Priora, §I.23.[11] Chứng minh hoàn hảo trước tiên xuất hiện nay vô cỗ Thương hiệu của Euclid, là mệnh đề 117 của Quyển X. Tuy nhiên, từ trên đầu thế kỷ 19 nhiều sử gia nhận định rằng minh chứng này sẽ không nằm trong bạn dạng thảo gốc và bởi vậy ko thể nghĩ rằng của Euclid.[12]

Chứng minh hình học[sửa | sửa mã nguồn]

Hình 1. Chứng minh hình học tập của Stanley Tennenbaum mang đến tính vô tỉ của √2.

Một trình diễn hình học tập của minh chứng bên trên được John Horton Conway nghĩ rằng của Stanley Tennenbaum Lúc ông còn là một học viên đầu những năm 1950[13] và lượt xuất hiện nay mới đây nhất là vô một bài xích báo vị Noson Yanofsky vô tập san American Scientist số mon 5-6 năm nhâm thìn.[14] Cho nhì hình vuông vắn với cạnh là số vẹn toàn a và b, vô bại một chiếc với diện tích S gấp hai loại bại, bịa nhì hình vuông vắn nhỏ vô hình vuông vắn rộng lớn như vô hình 1. Phần gửi gắm nhau ở thân thích với diện tích S ((2b − a)2) cần vị tổng diện tích S của nhì hình vuông vắn nhỏ ko được tủ phủ (2(a − b)2). Như vậy tao nhận được nhì hình vuông vắn nhỏ rộng lớn những hình vuông vắn lúc đầu và diện tích S tính năng này gấp hai loại bại. Lặp lại quy trình này tao hoàn toàn có thể thu nhỏ những hình vuông vắn tùy ý, tuy nhiên điều này là vô nguyên do bọn chúng cần với cạnh là số vẹn toàn dương, tức to hơn hoặc vị 1.

Hình 2. Chứng minh hình học tập của Tom Apostol mang đến tính vô tỉ của √2.

Một minh chứng hình học tập dùng phản hội chứng không giống xuất hiện nay năm 2000 vô tập luyện san American Mathematical Monthly.[15] Nó cũng là một trong minh chứng dùng cách thức lùi vô hạn, bên cạnh đó dùng phép tắc dựng hình vị thước kẻ và compa đang được biết kể từ thời Hy Lạp cổ kính.

Lấy △ABC vuông cân nặng với cạnh huyền m và cạnh mặt mũi n như vô Hình 2. Theo ấn định lý Pythagoras, m/n = √2. Giả sử m và n là những số vẹn toàn và m:n là phân số tối giản

Vẽ những cung BD và CE với tâm A. Nối DE hạn chế BC bên trên F. Dễ thấy, nhì tam giác ABC và ADE đều bằng nhau bám theo cạnh-góc-cạnh.

Ngoài rời khỏi tao cũng thấy △BEF là tam giác vuông cân nặng. Do bại BE = BF = m − n. Theo tính đối xứng, DF = m − n, và △FDC cũng chính là tam giác vuông cân nặng. Ta suy rời khỏi FC = n − (m − n) = 2n − m.

Như vậy tao với cùng một tam giác vuông cân nặng nhỏ rộng lớn với cạnh huyền 2n − m và cạnh mặt mũi m − n. Chúng nhỏ rộng lớn m và n tuy vậy với nằm trong tỉ lệ thành phần, trái khoáy với fake thiết là m:n là tối giản. Do bại, m và n ko thể nằm trong là số vẹn toàn, nên √2.

Chứng minh trực tiếp[sửa | sửa mã nguồn]

Một phía lên đường không giống mang tính chất xây cất là thiết lập một vách bên dưới mang đến hiệu của √2 và một số trong những hữu tỉ bất kì. Với nhì số vẹn toàn dương a và b, số nón trúng của 2 (tức số nón của 2 vô khai triển rời khỏi quá số vẹn toàn tố) của a2 là chẵn, còn của 2b2 là lẻ, nên bọn chúng là những số vẹn toàn không giống nhau; bởi vậy | 2b2 − a2 | ≥ 1 với từng a, b vẹn toàn dương. Khi đó[16]

Xem thêm: tóm tắt chữ người tử tù

bất đẳng thức cuối trúng tự tao fake sử a/b ≤ 3 − √2 (nếu ko thì hiệu bên trên minh bạch to hơn 3 − 2√2 > 0). Bất đẳng thức này mang đến tao ngăn bên dưới 1/3b2 của hiệu | √2 − a/b |, kể từ bại kéo theo minh chứng tính vô tỉ thẳng tuy nhiên ko cần thiết fake sử phản hội chứng. Chứng minh này cho rằng tồn bên trên một khoảng cách thân thích √2 và ngẫu nhiên số hữu tỉ nào là.

Tính hóa học của căn bậc nhì của 2[sửa | sửa mã nguồn]

Một nửa của √2, bên cạnh đó cũng chính là nghịch tặc hòn đảo của √2, xấp xỉ vị 0.707106781186548, là một trong độ quý hiếm thông thường gặp gỡ vô hình học tập và lượng giác vì thế vectơ đơn vị chức năng tạo ra góc 45° với những trục thì với tọa độ

Số này thỏa mãn

Một độ quý hiếm với tương quan là tỷ trọng bạc. Hai số dương a, b với tỷ lệ bạc δS nếu

.

Bằng cơ hội biến hóa về phương trình bậc nhì, tao hoàn toàn có thể giải được δS = 1 + √2.

√2 hoàn toàn có thể được trình diễn bám theo đơn vị chức năng ảo i chỉ dùng căn bậc nhì và những phép tắc toán số học:

nếu ký hiệu căn bậc nhì được khái niệm phải chăng mang đến số phức i và −i.

√2 cũng chính là số thực có một không hai không giống 1 tuy nhiên tetration vô hạn lượt vị với bình phương của chính nó. Một cơ hội tuyên bố ngặt nghèo như sau: nếu như với số thực c > 1 tao khái niệm x1 = c và xn+1 = cxn với n > 1, thì số lượng giới hạn của xn Lúc n → ∞ (nếu tồn tại) gọi là f(c). Khi ấy √2 là số c > 1 có một không hai thỏa f(c) = c2. Hay trình bày cơ hội khác:

√2 cũng xuất hiện nay vô công thức Viète mang đến π:

với m vệt căn và trúng một vệt trừ.[17]

Ngoài rời khỏi, √2 còn xuất hiện nay trong vô số hằng con số giác:[18]

Hiện vẫn không biết liệu √2 liệu có phải là số chuẩn chỉnh, một đặc thù mạnh rộng lớn tính vô tỉ, tuy nhiên phân tách tổng hợp trình diễn của chính nó vô hệ nhị phân đã cho thấy với năng lực nó chuẩn chỉnh vô hệ cơ số nhì.[19]

Biểu trình diễn chuỗi[sửa | sửa mã nguồn]

Hệ thức cos π/4 = sin π/4 = 1/√2, cùng theo với những trình diễn tích vô hạn của sin và cosin mang đến ta

và

hoặc tương tự,

Ngoài rời khỏi tao hoàn toàn có thể sử dụng chuỗi Taylor của những nồng độ giác. Ví dụ, chuỗi Taylor mang đến cos π/4 mang đến ta

Chuỗi Taylor mang đến √1 + x với x = 1 cùng theo với giai quá kép n!! mang đến ta

Sử dụng biến hóa Euler nhằm đẩy mạnh vận tốc quy tụ của sản phẩm, tao được

Một công thức dạng BBP mang đến √2 vẫn không được mò mẫm rời khỏi, song tiếp tục với những công thức dạng BBP mang đến π√2 và √2ln(1+√2).[20]

√2 hoàn toàn có thể trình diễn vị phân số Ai Cập, với khuôn số vị những số hạng loại 2n của một sản phẩm hồi quy tuyến tính như thể sản phẩm Fibonacci. Đặt a0 = 0, a1 = 6, an = 34an − 1 − an − 2[21]

Liên phân số[sửa | sửa mã nguồn]

Xấp xỉ căn bậc nhì của 2 vị sản phẩm giản phân.

Căn bậc nhì của 2 với trình diễn vị liên phân số sau:

Những giản phân trước tiên là: 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408. Giản phân p/q cơ hội √2 một khoảng tầm sát vị 1/2q2√2[cần dẫn nguồn] và giản phân tiếp theo sau là p + 2q/p + q.

Bình phương lồng nhau[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu thức tại đây quy tụ về √2:

Hằng số liên quan[sửa | sửa mã nguồn]

Nghịch hòn đảo của căn bậc nhì của 2 (căn bậc nhì của 1/2) là một trong hằng số thông thường sử dụng.

Xem thêm: như ngày hôm qua lyrics

(dãy số A010503 vô bảng OEIS)

Khổ giấy[sửa | sửa mã nguồn]

Năm 1786, GS cơ vật lý người Đức Georg Lichtenberg[22] phân phát hiện nay rằng ngẫu nhiên tờ giấy má nào là với cạnh lâu năm dài cấp √2 lượt cạnh ngắn ngủn hoàn toàn có thể được gấp hai sẽ tạo trở nên một tờ giấy má mới mẻ với tỉ lệ thành phần y sì tờ lúc đầu. Tỉ lệ giấy má này bảo vệ rằng hạn chế giấy má trở nên nhì nửa đã cho ra những tờ giấy má nhỏ rộng lớn nằm trong tỉ lệ thành phần. Khi Đức chuẩn chỉnh hóa mẫu giấy vô thời điểm đầu thế kỷ trăng tròn, bọn họ sử dụng tỉ lệ thành phần của Lichtenberg sẽ tạo trở nên giấy má cay đắng "A".[22] Hiện ni, tỉ lệ thành phần sườn hình (xấp xỉ) của mẫu giấy bám theo chi chuẩn chỉnh ISO 216 (A4, A0, vân vân) là 1:√2.

Chứng minh:
Gọi cạnh ngắn ngủn và cạnh lâu năm của tờ giấy má, với

bám theo ISO 216.

Gọi là tỉ số của 50% tờ giấy má thì

.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Căn bậc nhì của 3
  • Căn bậc nhì của 5
  • Tỷ lệ bạc, 1 + √2
  • Căn bậc nhì của 2 tạo hình vô mối liên hệ trong số những f-stop của thấu kính máy hình họa, kéo theo tỉ lệ thành phần diện tích thân thích nhì khẩu chừng liên tục là 2.
  • Hằng số Gelfond–Schneider, 2√2.
  • Công thức Viète mang đến pi

Ghi chú[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Fowler và Robson, trang 368.
    Photograph, illustration, and mô tả tìm kiếm of the root(2) tablet from the Yale Babylonian Collection Lưu trữ 2012-08-13 bên trên Wayback Machine
    High resolution photographs, descriptions, and analysis of the root(2) tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection
  2. ^ Henderson.
  3. ^ Stephanie J. Morris, "The Pythagorean Theorem" Lưu trữ 2013-05-30 bên trên Wayback Machine, Khoa Sư phạm Toán, Đại học tập Georgia.
  4. ^ Brian Clegg, "The Dangerous Ratio..." Lưu trữ 2013-06-27 bên trên Wayback Machine, Nrich.org, mon 11 2004.
  5. ^ Kurt von Fritz, "The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum", Annals of Mathematics, 1945.
  6. ^ Conway, John H.; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Copernicus, tr. 25
  7. ^ Mặc cho dù thời buổi này cụm kể từ "phương pháp Babylon" được sử dụng khá thông dụng, không tồn tại vật chứng thẳng nào là đã cho thấy cơ hội người Babylon tính xấp xỉ √2 bên trên bạn dạng khu đất sét YBC 7289. Fowler và Robson lời khuyên một số trong những fake thiết.
    Fowler và Robson, p. 376. Flannery, p. 32, 158.
  8. ^ “Constants and Records of Computation”. Numbers.computation.free.fr. ngày 12 mon 8 năm 2010. Bản gốc tàng trữ ngày một mon 3 năm 2012. Truy cập ngày 7 mon 9 năm 2012.
  9. ^ “Number of known digits”. Numbers.computation.free.fr. ngày 12 mon 8 năm 2010. Bản gốc tàng trữ ngày một mon 3 năm 2012. Truy cập ngày 7 mon 9 năm 2012.
  10. ^ “Records Set by y-cruncher”. Bản gốc tàng trữ ngày trăng tròn mon 10 năm 2015. Truy cập ngày 3 mon 10 năm 2019.
  11. ^ Trong Lúc ghi chép về hội chứng mihn vị phản hội chứng, Aristotle nói: "đường chéo cánh của hình vuông vắn là ko thể sánh được với cạnh của chính nó, chính vì số lẻ tiếp tục ngay số chẵn nếu như bọn chúng sánh được với nhau".
  12. ^ Phiên bạn dạng giờ Hy Lạp của cục Cơ sở xuất bạn dạng vị E. F. August bên trên Berlin vô 1826–1829 trả minh chứng này vô phần Phụ lục. Điều tương tự động xẩy ra với phiên bạn dạng của sử gia J. L. Heiberg (1883–1888).
  13. ^ Proof 8‴ Lưu trữ 2016-04-22 bên trên Wayback Machine
  14. ^ Yanofsky, N. (2016). “Paradoxes, Contradictions, and the Limits of Science”. Bản gốc tàng trữ ngày 30 mon 6 năm năm nhâm thìn.
  15. ^ Tom M. Apostol (tháng 11 năm 2000), “Irrationality of The Square Root of Two -- A Geometric Proof”, The American Mathematical Monthly, 107 (9): 841–842, doi:10.2307/2695741
  16. ^ Katz, Karin Usadi; Katz, Mikhail G. (2011), “Meaning in Classical Mathematics: Is it at Odds with Intuitionism?”, Intellectica, 56 (2): 223–302 (Mục 2.3, chú thích 15), arXiv:1110.5456, Bibcode:2011arXiv1110.5456U
  17. ^ Courant, Richard; Robbins, Herbert (1941), What is mathematics? An Elementary Approach to tướng Ideas and Methods, London: Oxford University Press, tr. 124
  18. ^ Julian D. A. Wiseman Sin and cos in surds Lưu trữ 2009-05-06 bên trên Wayback Machine
  19. ^ Good & Gover (1967).
  20. ^ “Archived copy” (PDF). Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 10 mon 6 năm 2011. Truy cập ngày 30 tháng bốn năm 2010.Quản lý CS1: bạn dạng tàng trữ là title (liên kết)
  21. ^ “Sloane's A082405”. Bảng tra cứu giúp sản phẩm số vẹn toàn trực tuyến. Tổ chức OEIS.
  22. ^ a b Houston, Keith (2016). The Book: A Cover-to-Cover Exploration of the Most Powerful Object of Our Time. W. W. Norton & Company. tr. 324. ISBN 0393244806.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  • Apostol, Tom M. (2000), “Irrationality of square root of 2 – A geometric proof”, American Mathematical Monthly, 107 (9): 841–842, doi:10.2307/2695741, JSTOR 2695741.
  • Aristotle (2007), Analytica priora, eBooks@Adelaide
  • Bishop, Errett (1985), Schizophrenia in contemporary mathematics. Errett Bishop: reflections on him and his research (San Diego, Calif., 1983), 1–32, Contemp. Math. 39, Amer. Math. Soc., Providence, RI.
  • Flannery, David (2005), The Square Root of Two, Springer-Verlag, ISBN 0-387-20220-X.
  • Fowler, David; Robson, Eleanor (1998), “Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context” (PDF), Historia Mathematica, 25 (4): 366–378, doi:10.1006/hmat.1998.2209, Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 3 mon 9 năm 2006.
  • Good, I. J.; Gover, T. N. (1967), “The generalized serial test and the binary expansion of √2”, Journal of the Royal Statistical Society, Series A, 130 (1): 102–107, doi:10.2307/2344040, JSTOR 2344040.
  • Henderson, David W. (2000), “Square roots in the Śulba Sūtras”, vô Gorini, Catherine A. (biên tập), Geometry At Work: Papers in Applied Geometry, Cambridge University Press, tr. 39–45, ISBN 978-0-88385-164-7.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

  • Gourdon, X.; Sebah, Phường. (2001), “Pythagoras' Constant: √2”, Numbers, Constants and Computation.
  • Weisstein, Eric W., "Pythagoras's Constant" kể từ MathWorld.
  • Căn bậc nhì của Hai cho tới 5 triệu chữ số vị Jerry Bonnell và Robert J. Nemiroff. Tháng 5, 1994.
  • Căn bậc nhì của 2 là vô tỉ, một tuyển chọn tập luyện những hội chứng minh
  • Grime, James; Bowley, Roger. “The Square Root √2 of Two”. Numberphile. Brady Haran. Bản gốc tàng trữ ngày 22 mon 5 năm 2017. Truy cập ngày 19 mon 12 năm 2019.